李彩娟，王玉磊，杜殿楼
(1.信阳学院数学与统计学院，河南 信阳 464000；
2.郑州大学数学与统计学院，河南 郑州 450001)
非线性偏微分方程在非线性科学领域占有重要地位，而孤立子理论是研究非线性方程的主要手段之一.目前在孤立子理论中有一系列构造精确解的方法，其中达布变换方法是构造非线性方程精确解的一种十分有效的方法.[1-8]
本文利用(2+1)维MKP型方程[9]
(1)
与DNLS族前两个(1+1)维孤子方程[10-12]的关系，借助达布变换求出(1+1)维孤子方程的精确解，从而得到(2+1)维MKP型方程的精确解.
考虑谱问题：
(2)
及辅助谱问题
(3)
(4)
由方程(2)和(3)、(2)和(4)的相容性可得DNLS族前两个非平凡的(1+1)维孤子方程：
(5)
(6)
这里Al，Bm，Cn，Dl(0≤l≤N；
0≤m≤N-1；
0≤n≤N-2)均为x，y，t的函数且
(7)
其由以下代数方程决定：
(8)
其中
(9)
φ(λj)=(φ1(λj)，φ2(λj))T，ψ(λj)=(ψ1(λj)，ψ2(λj))T是(2)式的基本解，λj和γj是2N个相互独立的常数且(8)式的系数行列式非零.由(6)式，detT(λj)=A(λj)D(λj)-B(λj)C(λj).又由(8)式有
A(λj)=-σjB(λj)，C(λj)=-σjD(λj).
(10)
故detT(λj)=0，即λj(0≤j≤2N)是detT(λ)的2N个零点.
由(6)式产生一个新的谱问题
(11)
并且
(12)
命题2 令AN-1，BN-1满足
(13)
(14)
证明由(2)和(9)式可得Ricatti方程
(15)
设T-1=T*/detT，由(6)，(10)和(15)式得
(16)
(17)
易证f11(λ)，f12(λ)，f22(λ)是λ的2N+1次多项式，f21(λ)是λ的2N次多项式，且λj(1≤j≤2N)均为fij(λ)(i，j=1，2)的根.则(17)式可化为
(Tx(λ)+T(λ)U(λ))T*(λ)=detT(λ)P(λ)，
(18)
Tx(λ)+T(λ)U(λ)=P(λ)T(λ).
(19)
比较(19)式中λN+1，λN，λN-1的系数可得
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
将(14)式代入(21)式可得
(28)
将(28)式代入(22)式并利用(7)式可得
(29)
命题3 设方程(2)的解φ和ψ也满足(3)式，则在变换(6)下，(3)式化为
(30)
证明根据(3)，(9)和(10)式可得
(31)
Ay(λj)=-By(λj)σj-B(λj)σjy，
(32)
Cy(λj)=-Dy(λj)σj-D(λj)σjy.
(33)
其中：
类似有
(34)
(Ty(λ)+T(λ)V1(λ))T*(λ)=detT(λ)Q(λ)，
(35)
其中
Ty(λ)+T(λ)V1(λ)=Q(λ)T(λ).
(36)
比较(36)式中λN+2，λN+1，λN的系数可得
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
将(14)式代入(38)式得
(44)
将(37)，(44)式代入(39)和(40)式并利用(14)式可得
(45)
将(37)，(44)，(45)式代入(41)和(42)式并利用(7)和(13)式可得
(46)
命题4 设(2)，(3)的解φ和ψ也满足(4)式，则在变换(6)下，(4)式化为
(47)
证明类似可得
(48)
At(λj)=-Bt(λj)σj-B(λj)σjt，Ct(λj)=-Dt(λj)σj-D(λj)σjt.
(49)
其中：
利用(10)，(48)和(49)式得
(50)
因此
(Tt(λ)+T(λ)V2(λ))T*(λ)=R(λ)T(λ)，
(51)
其中
比较等式(51)中λN+3，λN+2，λN+1和λN的系数并利用(14)和(22)式可得
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
将(52)，(53)式代入(54)—(56)式，并利用(14)和(22)—(27)式可得
(61)
(62)
另外，比较等式(17)中λN-2的系数有
(63)
将(52)，(53)，(61)，(62)式代入(57)式并利用(14)，(22)—(27)和(63)式可得
(64)
将(52)，(53)，(61)—(64)式代入(58)和(59)式并利用(7)，(13)，(17)和(63)式有
(65)
其中：
取Q=0为(1+1)维DNLS方程的平凡解，进而可以得到(5)的孤子解.将Q=0代入(2)，(3)和(4)式，得其基础解系为
φ(λ)=(0，eg(λ))T，ψ(λj)=(e-g(λ)，0)T，
(66)
其中g(λ)=i/2(λx+λ2y+λ3t).此时
(67)
当N=1时，由(8)式得
(68)
由命题1，(2+1)维MKP型方程(1)的解为
(69)
选取参数λ1=0.1，λ2=-0.1，γ1=2，γ2=-0.5，可得(69)式的孤子解，见图1.
图1 (69)式中的孤子解
(70)
选取参数λ1=1+2i，λ2=1-2i，λ3=-2.5，λ4=0.2，γ1=1，γ2=-0.5，γ3=2，γ4=0.2，可得(70)式的孤子解，见图2.
故方程(5)的N-孤子解为
从而(2+1)维MKP型方程(1)的解为
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